Краткое содержание
В этом видео объясняется, как определять тригонометрические функции для произвольных углов, выходящих за рамки 90 градусов. Вместо использования прямоугольных треугольников, вводится понятие единичной окружности в системе координат. Синус угла определяется как координата Y точки на окружности, косинус — как координата X, а тангенс и котангенс — как отношения этих координат. Также рассматриваются знаки тригонометрических функций в различных квадрантах координатной плоскости.
- Тригонометрические функции для углов больше 90 градусов определяются с использованием единичной окружности.
- Синус угла соответствует координате Y точки на окружности, косинус — координате X.
- Знаки тригонометрических функций зависят от квадранта, в котором находится угол.
Введение в тригонометрические функции произвольных углов [0:03]
В видео рассматривается определение тригонометрических функций не только для острых углов в прямоугольных треугольниках, но и для любых углов, включая те, что больше 90 градусов. Автор обещает объяснить, как находить синус и косинус углов, превышающих 360 градусов.
Исторический контекст и определения в прямоугольном треугольнике [0:30]
Традиционно, в прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — как отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — как отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — наоборот. Возникает вопрос, как применять эти функции к углам, превышающим 90 градусов, для которых прямоугольный треугольник не существует.
Введение системы координат и единичной окружности [2:02]
Для определения тригонометрических функций произвольных углов вводится система координат с осями X и Y. В центре координат строится окружность. Для любой точки на этой окружности можно определить координаты X и Y. Чтобы упростить вычисления, используется единичная окружность, радиус которой равен 1.
Определение синуса и косинуса через единичную окружность [2:51]
В единичной окружности синус угла определяется как координата Y точки на окружности, а косинус — как координата X этой точки. Это позволяет определить синус и косинус для любого угла, независимо от его величины.
Тангенс и котангенс [5:04]
Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу, а котангенс — как отношение косинуса к синусу.
Знаки тригонометрических функций в разных квадрантах [5:32]
В зависимости от квадранта, в котором находится угол, синус и косинус могут быть положительными или отрицательными. В первом квадранте (от 0 до 90 градусов) обе функции положительны. Во втором квадранте (от 90 до 180 градусов) синус положителен, а косинус отрицателен. В третьем квадранте (от 180 до 270 градусов) обе функции отрицательны. В четвертом квадранте (от 270 до 360 градусов) синус отрицателен, а косинус положителен. Знаки тангенса и котангенса определяются знаками синуса и косинуса. Нет необходимости заучивать знаки тригонометрических функций, достаточно помнить, что синус соответствует оси Y, косинус — оси X, а тангенс и котангенс — это отношение одного к другому.