[강연] 위상수학의 놀라운 응용: 데이터도 모양이 있다? 2_by 최수영 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 9강 두 번째 이야기

간략한 요약

이 비디오에서는 위상 데이터 분석(TDA)의 기본 개념과 실제 응용에 대해 설명합니다. TDA는 데이터의 모양을 분석하여 숨겨진 구조와 패턴을 발견하는 데 사용되는 기술입니다.

• 베티 수를 사용하여 데이터의 덩어리 개수와 구멍 개수를 파악합니다.
• 고차원 데이터를 분석하기 위해 Vietoris-Rips Complex를 사용하여 점들을 연결하고 모양을 만듭니다.
• TDA는 의료, 토목 등 다양한 분야에서 응용될 수 있습니다.

시작 [0:00]

소개 및 위상수학 응용에 대한 논의 시작. 위상수학의 불변량을 활용하여 실제 생활에 어떻게 적용할 수 있는지에 대한 질문을 던집니다. 특히, 불변량을 통해 위상 공간의 모양을 추측하는 방법에 대해 이야기합니다.

9강 두 번째 이야기 [0:26]

위상 공간의 모양을 추정하기 위해 불변량, 특히 구멍의 개수를 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 우주의 모양처럼 눈에 보이지 않는 공간의 형태를 추정하는 데 이 방법이 어떻게 사용될 수 있는지 설명합니다. 베티 수를 소개하며, 이는 오일러 지표를 일반화한 값으로, 공간의 불변량을 계산하는 데 사용됩니다.

베티 수 [2:16]

베티 수는 위상 공간의 덩어리 개수와 구멍 개수를 나타내는 불변량입니다. 0번째 베티 수는 덩어리의 개수를, 1번째 베티 수는 구멍의 개수를 나타냅니다. 토러스의 경우, 1차원 구멍이 두 개 있습니다. 여기서 '구멍'이라는 용어는 엄밀하지 않으며, 다양한 방식으로 해석될 수 있습니다. 속이 비어 있는 도넛과 속이 찬 도넛은 위상적으로 다릅니다.

TDA란? [9:22]

베티 수를 통해 보이지 않는 모양을 짐작할 수 있으며, 이는 계산 가능하다는 중요한 특징을 가집니다. 빅데이터 분석에서 데이터의 구조를 추정하는 데 활용될 수 있습니다. 데이터는 고차원 공간에 존재하는 점으로 이해될 수 있으며, TDA는 이러한 데이터의 베티 수를 계산하여 모양을 추정합니다. 농구 선수 데이터 예시를 통해 TDA가 어떻게 활용될 수 있는지 설명합니다. 기존 통계 분석에서는 차원을 줄여 데이터를 시각화하는 반면, TDA는 차원을 그대로 유지하면서 데이터의 모양을 분석합니다.

Vietoris-Rips Complex [18:24]

TDA에서 데이터의 모양을 정의하는 방법 중 하나인 Vietoris-Rips Complex를 소개합니다. 이는 가까운 점들을 연결하여 모양을 만드는 방법입니다. 임계값을 설정하여 점들을 연결하고, 임계값을 증가시키면서 베티 수의 변화를 관찰합니다. 가상 데이터를 통해 베티 수 변화를 시각화하고, 이를 통해 데이터의 모양을 예측하는 연습을 합니다.

싱크홀과 파이프를 구별하는 TDA 응용 [25:01]

TDA는 의료 분야에서 유방암 발병 가능성 예측 등에 성공적으로 응용되었습니다. 토목 분야에서는 비파괴 탐사에 TDA를 적용하여 싱크홀 탐지에 활용할 수 있습니다. GPR 데이터를 분석하여 싱크홀, 돌멩이, 파이프 등을 구별하는 데 TDA가 사용될 수 있습니다. TDA는 인공지능 모델의 성능을 향상시키는 데도 기여할 수 있습니다. 위상수학은 인류의 성장에 기여할 수 있으며, 더 많은 사람들이 위상수학을 공부해야 한다는 메시지를 전달합니다.