[강연] 위상수학의 놀라운 응용: 데이터도 모양이 있다? 2_by 최수영 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 9강 두 번째 이야기

간략한 요약

이 비디오에서는 위상 데이터 분석(TDA)의 기본 개념과 실제 응용에 대해 설명합니다. TDA는 데이터의 모양을 분석하여 숨겨진 구조와 패턴을 발견하는 데 사용되는 기술입니다.

• 베티 수를 사용하여 데이터의 덩어리 개수와 구멍 개수를 파악합니다.
• 고차원 데이터를 분석하기 위해 Vietoris-Rips Complex를 사용하여 점들을 연결하고 모양을 만듭니다.
• TDA는 의료, 토목 등 다양한 분야에서 응용될 수 있습니다.

시작

소개 및 위상수학 응용에 대한 논의 시작. 위상수학의 불변량을 활용하여 실제 생활에 어떻게 적용할 수 있는지에 대한 질문을 던집니다. 특히, 불변량을 통해 위상 공간의 모양을 추측하는 방법에 대해 이야기합니다.

9강 두 번째 이야기

위상 공간의 모양을 추정하기 위해 불변량, 특히 구멍의 개수를 사용하는 방법에 대해 설명합니다. 우주의 모양처럼 눈에 보이지 않는 공간의 형태를 추정하는 데 이 방법이 어떻게 사용될 수 있는지 설명합니다. 베티 수를 소개하며, 이는 오일러 지표를 일반화한 값으로, 공간의 불변량을 계산하는 데 사용됩니다.

베티 수

베티 수는 위상 공간의 덩어리 개수와 구멍 개수를 나타내는 불변량입니다. 0번째 베티 수는 덩어리의 개수를, 1번째 베티 수는 구멍의 개수를 나타냅니다. 토러스의 경우, 1차원 구멍이 두 개 있습니다. 여기서 '구멍'이라는 용어는 엄밀하지 않으며, 다양한 방식으로 해석될 수 있습니다. 속이 비어 있는 도넛과 속이 찬 도넛은 위상적으로 다릅니다.

TDA란?

베티 수를 통해 보이지 않는 모양을 짐작할 수 있으며, 이는 계산 가능하다는 중요한 특징을 가집니다. 빅데이터 분석에서 데이터의 구조를 추정하는 데 활용될 수 있습니다. 데이터는 고차원 공간에 존재하는 점으로 이해될 수 있으며, TDA는 이러한 데이터의 베티 수를 계산하여 모양을 추정합니다. 농구 선수 데이터 예시를 통해 TDA가 어떻게 활용될 수 있는지 설명합니다. 기존 통계 분석에서는 차원을 줄여 데이터를 시각화하는 반면, TDA는 차원을 그대로 유지하면서 데이터의 모양을 분석합니다.

Vietoris-Rips Complex

TDA에서 데이터의 모양을 정의하는 방법 중 하나인 Vietoris-Rips Complex를 소개합니다. 이는 가까운 점들을 연결하여 모양을 만드는 방법입니다. 임계값을 설정하여 점들을 연결하고, 임계값을 증가시키면서 베티 수의 변화를 관찰합니다. 가상 데이터를 통해 베티 수 변화를 시각화하고, 이를 통해 데이터의 모양을 예측하는 연습을 합니다.

싱크홀과 파이프를 구별하는 TDA 응용

TDA는 의료 분야에서 유방암 발병 가능성 예측 등에 성공적으로 응용되었습니다. 토목 분야에서는 비파괴 탐사에 TDA를 적용하여 싱크홀 탐지에 활용할 수 있습니다. GPR 데이터를 분석하여 싱크홀, 돌멩이, 파이프 등을 구별하는 데 TDA가 사용될 수 있습니다. TDA는 인공지능 모델의 성능을 향상시키는 데도 기여할 수 있습니다. 위상수학은 인류의 성장에 기여할 수 있으며, 더 많은 사람들이 위상수학을 공부해야 한다는 메시지를 전달합니다.