[공통수학2][LV 1] 31강. 함수_일대일대응(1)

간략한 요약

이 비디오에서는 1대1 함수와 1대1 대응의 개념을 설명하고, 그래프를 통해 이를 구별하는 방법과 관련된 문제 풀이를 다룹니다. 핵심 내용은 다음과 같습니다.

• 1대1 함수의 정의와 조건
• 1대1 대응의 정의와 조건 (공역과 치역이 같아야 함)
• 그래프를 이용한 1대1 함수와 1대1 대응 구별
• 1차 함수 및 2차 함수에서의 1대1 대응 문제 풀이

함수 1단계 1대 1 대응 정의 [0:01]

함수값 입장에서 정의역 원소가 1대1로 매치되는 함수를 1대1 함수라고 합니다. 1대1 함수의 정확한 정의는 정의역의 원소 X1과 X2가 다르면, 그에 대한 함수값 FX1과 FX2도 다르다는 것입니다. 즉, 다른 정의역 값을 넣었을 때 다른 함수값이 나와야 합니다. 1대1 함수에서는 공역에 남는 원소가 있어도 상관없습니다.

1대 1 대응 정의 [1:45]

공역에 남는 원소가 없는 경우, 즉 공역과 치역이 같아지는 경우를 1대1 대응이라고 합니다. 1대1 함수이면서 공역과 치역이 같을 때 1대1 대응이라고 할 수 있습니다. 1대1 함수가 더 큰 개념이며, 그 안에서 치역과 공역이 같으면 1대1 대응이 됩니다.

1대 1 함수와 1대 1 대응 연습 [2:23]

함수값이 정의역과 1대1로 매치되지 않고 2대1로 매치되는 경우는 1대1 함수라고 볼 수 없습니다. 공역에 남는 원소가 있으면 1대1 함수는 맞지만 1대1 대응은 아닙니다. 공역에 남는 원소가 없어야 1대1 함수이면서 1대1 대응이 됩니다.

그래프를 이용한 1대1 대응 판별 [3:17]

1대1 대응을 판별하는 첫 번째 조건은 정의역 원소가 다르면 함수값이 달라야 한다는 것입니다 (1대1 함수). 두 번째 조건은 치역과 공역이 같아야 한다는 것입니다. 그래프에서 특정 y 값에 대해 두 개 이상의 x 값이 대응되면 1대1 함수가 아닙니다. 계속 증가하거나 감소하는 그래프는 1대1 함수일 가능성이 높습니다. 공역이 실수 전체 집합일 때, 그래프가 위아래로 무한하게 뻗어 있으면 치역도 실수 전체가 되어 1대1 대응이 됩니다.

1차 함수를 이용한 1대1 대응 문제 풀이 [6:51]

정의역과 공역의 범위가 주어졌을 때, 1차 함수(직선)가 1대1 대응이 되려면 다음 조건을 만족해야 합니다. 첫째, 정의역의 원소가 다르면 함수값이 달라야 합니다 (1대1 함수). 둘째, 치역과 공역이 같아야 합니다. 직선을 그릴 때 정의역 부분과 공역 부분이 모두 꽉 차 있어야 합니다. 기울기가 양수인지 음수인지에 따라 직선의 방향이 결정됩니다.

2차 함수를 이용한 1대1 대응 문제 풀이 [10:41]

2차 함수가 1대1 대응이 되려면 항상 증가하거나 항상 감소해야 합니다. 2차 함수 그래프가 특정 범위 안에서 1대1 대응이 되려면, 꼭짓점을 기준으로 한쪽 방향으로만 그래프를 사용해야 합니다. 주어진 조건을 만족하는 2차 함수 그래프를 찾기 위해 꼭짓점의 위치를 파악하고, 정의역과 공역의 범위를 고려해야 합니다. 그래프가 특정 점을 지나도록 조건을 설정하여 문제를 해결할 수 있습니다.