Resumen Breve
Este video de Matemáticas con Juan presenta una guía práctica para derivar funciones que involucran el número e. Se exploran 10 ejercicios diferentes, desde funciones simples como e^x hasta expresiones más complejas que combinan reglas de la cadena, del producto y del cociente. El objetivo es proporcionar una comprensión clara y paso a paso de cómo aplicar las reglas de derivación en diversas situaciones.
- Derivación de funciones exponenciales con base e.
- Aplicación de la regla de la cadena en funciones compuestas.
- Uso de las reglas del producto y del cociente en combinación con funciones exponenciales.
- Simplificación de expresiones algebraicas después de la derivación.
Derivada de e^x
La derivada de e^x es simplemente e^x. Se destaca la importancia del número e debido a esta propiedad única, donde la función no cambia al ser derivada.
Derivada de e^(3x)
Para derivar e^(3x), se aplica la regla de la cadena. La derivada es e^(3x) multiplicado por la derivada del exponente, que es 3. El resultado se expresa como 3e^(3x).
Derivada de e^(x^2 + 2x + 1)
Se deriva e^(x^2 + 2x + 1) utilizando la regla de la cadena. La derivada es e^(x^2 + 2x + 1) multiplicado por la derivada del exponente, que es 2x + 2. Se factoriza el resultado para simplificarlo a 2(x + 1)e^(x^2 + 2x + 1).
Derivada de e^(sen(4x))
Se aplica la regla de la cadena para derivar e^(sen(4x)). La derivada es e^(sen(4x)) multiplicado por la derivada del exponente, que es cos(4x) multiplicado por la derivada de 4x, que es 4. El resultado se escribe como 4cos(4x)e^(sen(4x)).
Derivada de e^(cos(x)/x)
Para derivar e^(cos(x)/x), se utiliza la regla de la cadena combinada con la regla del cociente. La derivada es e^(cos(x)/x) multiplicado por la derivada del exponente, que se calcula como (-xsen(x) - cos(x))/x^2. El resultado final es ((-xsen(x) - cos(x))/x^2) * e^(cos(x)/x).
Derivada de x^2 * e^(2x)
Se deriva x^2 * e^(2x) utilizando la regla del producto. La derivada es (2x * e^(2x)) + (x^2 * 2e^(2x)). Se factoriza el resultado para simplificarlo a 2e^(2x)(x + x^2/2).
Derivada de sen(x) * e^(√x)
Se aplica la regla del producto para derivar sen(x) * e^(√x). La derivada es (cos(x) * e^(√x)) + (sen(x) * e^(√x) * (1/(2√x))). Se factoriza el resultado para simplificarlo a e^(√x) * (cos(x) + sen(x) / (2√x)).
Derivada de e^(x^2) / x^2
Se deriva e^(x^2) / x^2 utilizando la regla del cociente. La derivada es ((2x * e^(x^2) * x^2) - (2x * e^(x^2))) / (x^4). Se factoriza y simplifica el resultado a (2e^(x^2) * (x^2 - 1)) / x^3.
Derivada de e^(tan(x)) / √x
Se aplica la regla del cociente para derivar e^(tan(x)) / √x. La derivada es ((sec^2(x) * e^(tan(x)) * √x) - (e^(tan(x)) / (2√x))) / x. Se factoriza el resultado para simplificarlo a (e^(tan(x)) * (sec^2(x) * √x - 1 / (2√x))) / x.
Derivada de ln(e^x / x^2)
Se deriva ln(e^x / x^2) utilizando la regla de la cadena y la regla del cociente. La derivada es (1 / (e^x / x^2)) * ((e^x * x^2 - 2x * e^x) / x^4). Se simplifica el resultado a (x - 2) / x^3. El resultado final es (x-2) / x.
