Breve Resumen
Este video de MateFacil explica cómo transformar coordenadas rectangulares a polares cuando los puntos no están sobre los ejes, sino en medio de los cuadrantes. Se revisan las fórmulas para calcular la distancia ( r ) y el ángulo ( \theta ), destacando la importancia de ajustar el ángulo según el cuadrante en el que se encuentra el punto. Se explica cómo usar un ángulo auxiliar ( \alpha ) para facilitar el cálculo en los cuadrantes II, III y IV, y se resuelven varios ejemplos prácticos.
- Cálculo de ( r ) usando el teorema de Pitágoras: ( r = \sqrt{x^2 + y^2} ).
- Ajuste del ángulo ( \theta ) según el cuadrante para obtener el valor correcto.
- Uso del ángulo auxiliar ( \alpha ) para facilitar los cálculos en los cuadrantes II, III y IV.
Introducción a la Transformación de Coordenadas [0:00]
El video introduce la transformación de coordenadas rectangulares a polares cuando los puntos se encuentran entre los cuadrantes, no sobre los ejes. Se menciona la importancia de ver el video anterior para entender mejor el tema y se proporciona un enlace a la lista de reproducción completa sobre coordenadas polares. Se destacan las dos fórmulas principales para la transformación, enfatizando la necesidad de utilizarlas con cuidado para evitar errores.
Cálculo de R y Consideraciones Iniciales [0:37]
Se explica que para calcular ( r ), se sustituyen los valores de las coordenadas ( x ) e ( y ) en la fórmula ( r = \sqrt{x^2 + y^2} ), recomendando tomar siempre la raíz positiva. Para el ángulo ( \theta ), se advierte que se debe tener más cuidado y analizar lo que ocurre en cada cuadrante para evitar errores.
Análisis del Cuadrante 1 [1:35]
En el primer cuadrante, se explica que no hay problemas al usar directamente la fórmula ( \theta = \arctan(\frac{y}{x}) ) porque tanto ( x ) como ( y ) son positivas. El ángulo resultante será directamente el ángulo que se forma desde el eje x positivo hasta la línea que une el punto con el origen.
Análisis del Cuadrante 2 [2:31]
En el segundo cuadrante, se advierte que no se puede usar la fórmula directamente porque ( x ) es negativa e ( y ) es positiva, lo que resultaría en un ángulo negativo incorrecto. Se introduce el concepto de un ángulo auxiliar ( \alpha ), que se mide desde el eje x negativo hasta la línea que une el punto con el origen. Este ángulo ( \alpha ) se calcula con la fórmula ( \alpha = \arctan(|\frac{y}{x}|) ), usando los valores absolutos de ( x ) e ( y ). Luego, el ángulo ( \theta ) se calcula como ( \theta = 180^\circ - \alpha ).
Análisis del Cuadrante 3 [5:01]
En el tercer cuadrante, tanto ( x ) como ( y ) son negativas. Similar al cuadrante 2, se calcula primero el ángulo auxiliar ( \alpha ) usando los valores absolutos de ( x ) e ( y ) en la fórmula ( \alpha = \arctan(|\frac{y}{x}|) ). El ángulo ( \theta ) se calcula como ( \theta = 180^\circ + \alpha ). Si se necesita el ángulo negativo, se puede calcular restando ( \alpha ) a 180 y luego convirtiendo el resultado a negativo.
Análisis del Cuadrante 4 [6:47]
En el cuarto cuadrante, ( x ) es positiva e ( y ) es negativa. Se calcula el ángulo auxiliar ( \alpha ) usando los valores absolutos de ( x ) e ( y ) en la fórmula ( \alpha = \arctan(|\frac{y}{x}|) ). El ángulo ( \theta ) se puede calcular como ( \theta = 360^\circ - \alpha ) (para un ángulo positivo) o simplemente como ( \theta = -\alpha ) (para un ángulo negativo).
Resumen de Fórmulas y Recomendaciones [7:58]
Se presenta un resumen de las fórmulas para cada cuadrante, aunque se recomienda no memorizarlas, sino entender el proceso de calcular ( \arctan(|\frac{y}{x}|) ) y ajustar el ángulo según el cuadrante. Se enfatiza la importancia de siempre usar los valores positivos de las coordenadas al calcular el ángulo auxiliar ( \alpha ).
Ejemplo 1: (4, 4) - Cuadrante 1 [8:25]
Se resuelve el primer ejemplo, el punto (4, 4), que se encuentra en el primer cuadrante. Se calcula ( r = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} ) y ( \theta = \arctan(\frac{4}{4}) = 45^\circ ) o ( \frac{\pi}{4} ) radianes. Se mencionan otras posibles coordenadas sumando o restando múltiplos de 360 grados al ángulo, y cómo obtener coordenadas con ( r ) negativo sumando o restando 180 grados al ángulo.
Ejemplo 2: (2, -2) - Cuadrante 4 [11:38]
Se resuelve el segundo ejemplo, el punto (2, -2), que se encuentra en el cuarto cuadrante. Se calcula ( r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2} ). Se calcula el ángulo auxiliar ( \alpha = \arctan(|\frac{-2}{2}|) = 45^\circ ), y luego se ajusta para obtener ( \theta = -45^\circ ) o ( 315^\circ ). Se explora cómo obtener coordenadas con ( r ) negativo sumando 180 grados al ángulo.
Ejemplo 3: (-1, √3) - Cuadrante 2 [14:42]
Se resuelve el tercer ejemplo, el punto (-1, √3), que se encuentra en el segundo cuadrante. Se calcula ( r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 ). Se calcula el ángulo auxiliar ( \alpha = \arctan(|\frac{\sqrt{3}}{-1}|) = 60^\circ ), y luego se ajusta para obtener ( \theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ ) o ( \frac{2\pi}{3} ) radianes. Se explora cómo obtener coordenadas con ( r ) negativo sumando o restando 180 grados al ángulo.
Ejemplo 4: (-2√3, -2) - Cuadrante 3 [17:48]
Se resuelve el cuarto ejemplo, el punto (-2√3, -2), que se encuentra en el tercer cuadrante. Se calcula ( r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = 4 ). Se calcula el ángulo auxiliar ( \alpha = \arctan(|\frac{-2}{-2\sqrt{3}}|) = 30^\circ ), y luego se ajusta para obtener ( \theta = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ ) o ( \frac{7\pi}{6} ) radianes. Se explora cómo obtener el ángulo negativo y coordenadas con ( r ) negativo.
Ejemplo 5: (-1, 3) - Cuadrante 2 (Ángulo No Exacto) [20:52]
Se resuelve el quinto ejemplo, el punto (-1, 3), que se encuentra en el segundo cuadrante. Se calcula ( r = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10} ). Se calcula el ángulo auxiliar ( \alpha = \arctan(|\frac{3}{-1}|) = \arctan(3) \approx 71.57^\circ ), y luego se ajusta para obtener ( \theta = 180^\circ - \arctan(3) \approx 108.43^\circ ). Se muestra cómo dejar el resultado en forma exacta (con la función arctan) o aproximarlo con decimales.
