Breve Resumen
Este video explora la historia de las geometrías no euclidianas, desafiando la noción tradicional de que la geometría euclidiana es la única posible. Se examinan los intentos fallidos de probar el quinto postulado de Euclides, lo que llevó al desarrollo de geometrías hiperbólicas y elípticas. Finalmente, se destaca la aplicación de estas geometrías en la teoría de la relatividad de Einstein, demostrando su relevancia en la comprensión del universo.
- La geometría euclidiana no es la única posible.
- El quinto postulado de Euclides es independiente de los demás.
- Las geometrías no euclidianas tienen aplicaciones en la física moderna.
Introducción a las Geometrías No Euclidianas
El video comienza cuestionando las verdades matemáticas que se aprenden en la escuela, como la suma de los ángulos de un triángulo siempre es 180 grados. Se plantea que existen espacios donde estas reglas no se cumplen, introduciendo la idea de las geometrías no euclidianas. El objetivo del video es explorar la historia de los matemáticos que descubrieron que la suma de los ángulos de un triángulo puede variar dependiendo del espacio en el que se encuentre.
Orígenes de la Geometría
La geometría, junto con la aritmética, fue uno de los primeros campos matemáticos explorados por el hombre. Los sumerios, hace más de 3000 años, ya hacían geometría debido a las necesidades de construir edificios, delimitar terrenos y calcular áreas. Los babilonios también hicieron grandes avances, como el conocimiento del teorema de Pitágoras y aproximaciones al número pi. Sin embargo, estas civilizaciones no hacían demostraciones formales, sino que resolvían problemas de manera empírica.
Geometría Griega y Euclides
Los griegos introdujeron la demostración sistemática en las matemáticas. Tales de Mileto es considerado el fundador de la geometría sistemática, utilizando métodos deductivos. Los pitagóricos demostraron que la suma de los ángulos de un triángulo equivale a dos ángulos rectos. Euclides, alrededor del año 300 a.C., publicó "Los Elementos", una compilación del saber geométrico de su época, demostrando cada proposición utilizando un sistema de cadena de proposiciones.
Axiomas y Postulados de Euclides
Euclides partió de 23 definiciones, 5 nociones básicas y 5 postulados para crear la geometría euclidiana. Sus nociones básicas incluyen conceptos intuitivos como "las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí" y "el todo es mayor que la parte". Sus postulados establecen la posibilidad de trazar líneas rectas, prolongar segmentos, describir circunferencias y la igualdad de los ángulos rectos.
El Quinto Postulado y sus Implicaciones
El quinto postulado de Euclides, también conocido como el postulado de las paralelas, establece que si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores de un mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas se intersecan en ese lado. Este postulado no parecía tan evidente como los demás y se convirtió en el centro de interés de muchos matemáticos que intentaron demostrarlo a partir de los otros cuatro.
Intentos Fallidos de Demostrar el Quinto Postulado
Durante 20 siglos, muchos matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado sin éxito. Entre ellos se encuentran Ptolomeo, Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi. En el siglo XVIII, Girolamo Saccheri intentó demostrarlo por reducción al absurdo, pero no logró eliminar la posibilidad de que los ángulos de un cuadrilátero fueran agudos. Adrien-Marie Legendre también intentó demostrarlo, pero no logró eliminar todas las hipótesis.
El Nacimiento de las Geometrías No Euclidianas
Ante el callejón sin salida, algunos matemáticos propusieron negar el quinto postulado. Esto llevó a la construcción de las geometrías no euclidianas: la geometría hiperbólica y la geometría elíptica. Gauss, Ferdinand Schweickardt, Nikolai Lobachevsky y János Bolyai son considerados los padres de las geometrías no euclidianas. Lobachevsky y Bolyai desarrollaron la geometría hiperbólica de manera independiente.
Desarrollo de la Geometría Hiperbólica y Elíptica
Nikolai Lobachevsky informó por primera vez de su nueva geometría no euclidiana en 1826. János Bolyai, obsesionado con el postulado de las paralelas, llegó a la conclusión de que era independiente de los demás y desarrolló nuevas geometrías consistentes a partir de su negación. Bernhard Riemann generalizó la geometría introduciendo los conceptos de variedades geométricas y curvatura, creando la geometría rimaniana, que incluye la geometría elíptica.
Geometría Rimaniana y Clasificación de las Geometrías
Las geometrías euclidiana, elíptica e hiperbólica son casos particulares de la geometría rimaniana, clasificadas según la curvatura del espacio. En la geometría euclidiana, el espacio tiene curvatura cero, por un punto exterior a una recta pasa una paralela y la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. En la geometría hiperbólica, el espacio tiene curvatura negativa, por un punto exterior a una recta pasan más de una paralela y la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados. En la geometría elíptica, el espacio tiene curvatura positiva, por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela y la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados.
Aplicaciones de las Geometrías No Euclidianas
En 1920, Albert Einstein demostró que la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura en su teoría de la relatividad. Esta curvatura corresponde al campo gravitatorio y los objetos se mueven a lo largo de las geodésicas. A pequeña escala, la geometría es euclidiana, pero a gran escala, la estructura geométrica del espacio tiene curvatura. Los espacios localmente euclideos son aquellos que, al acercarnos mucho a una zona, tienen una estructura de RN donde se utiliza la geometría euclidiana.
