Resumen Breve
Este video de Matemóvil explica la distribución normal, un concepto estadístico clave. Se introducen ejemplos prácticos como la temperatura diaria y el peso de tomates para ilustrar cómo se manifiesta la distribución normal en la vida real. Se explica la importancia de la media y la desviación estándar, y cómo estos parámetros afectan la forma de la campana de Gauss. Además, se detalla cómo calcular probabilidades utilizando la tabla Z y se resuelven problemas prácticos.
- La distribución normal se caracteriza por su forma de campana, simetría y la coincidencia de la media, la moda y la mediana.
- La desviación estándar mide la dispersión de los datos alrededor de la media.
- La tabla Z se utiliza para calcular probabilidades asociadas con la distribución normal estandarizada.
Introducción a la Distribución Normal
Jorge de Matemóvil introduce el tema de distribución normal, prometiendo ejemplos y problemas de diferentes niveles de dificultad. El objetivo es que los espectadores comprendan el tema sin dudas.
Ejemplo de Temperatura Ambiental
Se utiliza un ejemplo de registro diario de la temperatura en Piura, Perú, durante un año para construir un histograma. Se observa que la temperatura más frecuente es de 20 grados centígrados, y que la frecuencia disminuye a medida que nos alejamos de este valor. El histograma resultante tiene forma de campana, con la media en el centro y simetría alrededor de la media.
Ejemplo del Peso de Tomates
Se analiza el peso de los tomates producidos en una hacienda. El histograma muestra que el peso más común es de 150 gramos. Al igual que en el ejemplo anterior, el histograma tiene forma de campana (campana de Gauss) y presenta simetría respecto a la media. En este caso, la media, la moda y la mediana coinciden en 150 gramos. Se menciona que muchos fenómenos naturales siguen distribuciones normales, como las notas de exámenes, la presión sanguínea y la estatura de las personas.
Desviación Estándar
Además de la media, la desviación estándar es un parámetro importante en la distribución normal. Se explica que la desviación estándar mide la dispersión de los datos. Se utiliza el ejemplo de una fábrica de agua embotellada para ilustrar este concepto. Una máquina nueva y calibrada produce botellas con una pequeña dispersión en el volumen, lo que resulta en una baja desviación estándar y una campana de Gauss más alta y estrecha. Con el tiempo, si la máquina se descalibra, la dispersión aumenta, la desviación estándar se incrementa y la campana se vuelve más baja y ancha.
Notación de la Distribución Normal
Se explica cómo se representa la distribución normal en los libros. Generalmente, se utiliza la letra N seguida de dos parámetros entre paréntesis: la media (μ) y la desviación estándar (σ). En algunos casos, se puede encontrar la varianza (σ²) en lugar de la desviación estándar, pero esta notación es menos común. Se enfatiza que en este video se utilizará la notación con la media y la desviación estándar.
Características de la Distribución Normal
Se explica la función de distribución normal, recordando brevemente el concepto de funciones matemáticas. Se menciona que Carl Friedrich Gauss definió una función con forma de campana con características especiales. La ecuación de esta función es más compleja que las funciones básicas, pero sigue siendo una función.
Área Bajo la Curva
Se mencionan las características importantes de la función definida por Gauss. Primero, depende de la media y la desviación estándar. Segundo, el área bajo la curva es igual a 1, lo que representa la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles. Se utiliza el ejemplo del peso de los tomates para ilustrar cómo calcular probabilidades mediante el área bajo la curva. Se explica que para encontrar el área bajo la curva, se pueden usar integrales, simuladores o la tabla Z.
Simetría y Distribución de Datos
Se explica que la distribución normal es simétrica respecto al centro (la media). Esto significa que la forma de la curva a la derecha de la media es la misma que a la izquierda. Se utiliza el ejemplo del peso de los tomates para ilustrar cómo la simetría permite calcular probabilidades. Además, se menciona que el 50% de los valores se encuentran a cada lado de la media. Se introduce un truco para nombrar las áreas bajo la curva (área 1, área 2, área 3, área 4) para facilitar la comprensión.
Repaso de Características
Se realiza un repaso rápido de las características de la distribución normal utilizando el ejemplo de zanahorias. Se enfatiza que el área bajo la curva es 1, la distribución es simétrica respecto al centro, el 50% de los valores se encuentran a cada lado de la media y la curva tiene una asíntota en y=0.
Problema 1: Distribución Normal Estándar
Se resuelve un problema utilizando la tabla Z. Se explica que una distribución normal estándar tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1. Se pide encontrar la probabilidad de que Z se encuentre entre 0 y 1.25. Se dibuja la campana de Gauss, se ubica el valor de 1.25 y se sombrea el área que representa la probabilidad. Se explica cómo utilizar la tabla Z para encontrar el área bajo la curva entre 0 y 1.25. Luego, se calcula la probabilidad de que Z sea mayor o igual a 1.25, utilizando la propiedad de que el área a la derecha de la media es 0.5. Finalmente, se calcula la probabilidad de que Z sea menor o igual a -1.25, utilizando la simetría de la distribución normal.
Problema 2: Distribución Normal No Estándar
Se resuelve un problema con una distribución normal que no es estándar (media diferente de 0 y desviación estándar diferente de 1). Se explica cómo tipificar o estandarizar los valores de X (la variable original) para convertirlos a valores de Z y poder utilizar la tabla Z. Se utiliza la fórmula Z = (X - μ) / σ. Se resuelve un problema donde se pide determinar el porcentaje de baterías cuyo peso es mayor a 8 gramos, dado que el peso sigue una distribución normal con media de 6 gramos y desviación estándar de 2 gramos.
Problema 3: Aplicación de la Distribución Normal
Se resuelve un problema de aplicación donde los precios de las acciones de ciertas industrias se distribuyen normalmente con una media de 20 dólares y una desviación estándar de 3 dólares. Se pregunta cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa de esta industria se encuentre entre los 18 y 20 dólares. Se aplica el mismo procedimiento de estandarización y uso de la tabla Z para encontrar la probabilidad.
